Complete Elliptic Integral of the Second Kind

Online calculator 楕円の周長

$p = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta}\ d \theta = 4 a E\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2\right)$
E(m) is the complete elliptic integral of the second kind with parameter m = k²

2023年 1月18日
細田隆之

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楕円の周長

第二種完全楕円積分を用いて計算しています。
ラマヌジャンの楕円の周長の近似値も計算しています。

楕円の周長の計算

長径と短径 a : b :

ラマヌジャンの楕円の周長の近似値 p :

Download perimeter-0.2.js — source code
より正確な値の例（WolframAlpha による）
a =  1, b = 1 :  6.2831853071795864769252867665590057683943387987502116419498891846... = 2π (厳密に)
a =  2, b = 1 :  9.6884482205476761984285031963918294119539183978866008250831163524...
a =  5, b = 1 : 21.010044539689000944699164588473738912894812339134152623096835657...
a = 10, b = 1 : 40.639741801008957425577931011816563791313052134504059403405927819...

追補 — ラマヌジャン (Ramanujan) の楕円の円周長

$p & = & \pi \left\{(a + b) + \frac{3 (a - b)^2}{10(a + b) + \sqrt{a^2 + 14 ab + b^2}} + \varepsilon \right\}$

参考文献

Complete Elliptic Integral of the First Kind — Wolfram MathWorld
Complete Elliptic Integral of the Second Kind — Wolfram MathWorld
Arithmetic-Geometric Mean — Wolfram MathWorld
Mark B. Villarino, "Ramanujan's Perimeter of an Ellipse"
Elliptic integral — Wikipedia

楕円の周長の計算
長径と短径	a :	b :
ラマヌジャンの楕円の周長の近似値			p :

楕円の周長

追補 — ラマヌジャン (Ramanujan) の楕円の円周長

参考文献

関連項目